【数学】2019届理科一轮复习北师大版第8章第6节抛物线教案

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文档介绍

【数学】2019届理科一轮复习北师大版第8章第6节抛物线教案

第六节 抛物线 ‎[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.‎ ‎(对应学生用书第141页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线.‎ ‎2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2=2px ‎(p>0)‎ y2=-2px ‎(p>0)‎ x2=2py ‎(p>0)‎ x2=-2py ‎(p>0)‎ p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0)‎ 对称 轴 y=0‎ x=0‎ 焦点 F F F F 离心 率 e=1‎ 准线 方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R ‎|PF|=x0+ ‎|PF|=-x0+ ‎|PF|=y0+ ‎|PF|=-y0+ 焦半径(其中P(x0,y0))‎ ‎[知识拓展] 已知y2=2px,过焦点F的直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,l的倾斜角为θ,如图861,则 图861‎ ‎(1)|AB|=x1+x2+p=;‎ ‎(2)x1x2=,y1y2=-p2;‎ ‎(3)+=;‎ ‎(4)S△AOB=;‎ ‎(5)|CD|=2p,即通径,通径是过抛物线焦点弦中最短的弦.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(  )‎ ‎(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x=-.(  )‎ ‎(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(  )‎ ‎(4)AB为抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.抛物线y=x2的准线方程是(  )‎ A.y=-1   B.y=-2‎ C.x=-1 D.x=-2‎ A [∵y=x2,∴x2=4y,∴准线方程为y=-1.]‎ ‎3.(教材改编)若抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(  )‎ A.  B. C. D.0‎ B [M到准线的距离等于M到焦点的距离,又准线方程为y=-,设M(x,y),则y+=1,∴y=.]‎ ‎4.顶点在原点,对称轴是y轴,并且经过点P(-4,-2)的抛物线方程是________.‎ x2=-8y [设抛物线的方程为x2=my,将点P(-4,-2)代入x2=my,得m=-8,所以抛物线方程是x2=-8y.]‎ ‎5.(2016·浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是________.‎ ‎9 [设点M的横坐标为x,则点M到准线x=-1的距离为x+1,由抛物线的定义知x+1=10,∴x=9,‎ ‎∴点M到y轴的距离为9.]‎ ‎(对应学生用书第142页)‎ 抛物线的定义及应用 ‎ (1)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4 ,则|QF|=(  )‎ A.    B. C.3 D.2‎ ‎(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.‎ ‎(1)C (2)6 [(1)∵=4 ,‎ ‎∴||=4||,‎ ‎∴=.‎ 如图,过Q作QQ′⊥l,垂足为Q′,设l与x轴的交点为A,则|AF|=4,‎ ‎∴==,‎ ‎∴|QQ′|=3.‎ 根据抛物线定义可知|QF|=|QQ′|=3.‎ ‎(2)如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.‎ 由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.‎ ‎∵点M为FN的中点,PM∥OF,‎ ‎∴|MP|=|FO|=1.‎ 又|BP|=|AO|=2,‎ ‎∴|MB|=|MP|+|BP|=3.‎ 由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.]‎ ‎[规律方法] 应用抛物线定义的两个关键点 (1)由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.‎ (2)注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离|PF|=|x|+或|PF|=|y|+.‎ ‎[跟踪训练] (1)(2017·广东汕头调研)已知P是抛物线y2=4x上的一个动点,Q是圆(x-3)2+(y-1)2=1上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则|PQ|+|PN|的最小值为(  )‎ A.3 B.4‎ C.5 D.+1‎ ‎(2)动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________. ‎ ‎【导学号:79140289】‎ ‎(1)A (2)y2=4x [(1)由抛物线方程y2=4x,可得抛物线的焦点F(1,0),又N(1,0),所以N与F重合.‎ 过圆(x-3)2+(y-1)2=1的圆心M作抛物线准线的垂线MH,交圆于Q,交抛物线于P,则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|-1=3.‎ ‎(2)设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.]‎ 抛物线的标准方程与几何性质 ‎ (1)点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是(  )‎ A.x2=y B.x2=y或x2=-y C.x2=-y D.x2=12y或x2=-36y ‎(2)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(  )‎ A.2 B.4‎ C.6 D.8‎ ‎(1)D (2)B [(1)将y=ax2化为x2=y.‎ 当a>0时,准线y=-,则3+=6,∴a=.‎ 当a<0时,准线y=-,则=6,∴a=-.‎ ‎∴抛物线方程为x2=12y或x2=-36y.‎ ‎(2)设抛物线的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2.‎ ‎∵|AB|=4,|DE|=2,‎ 抛物线的准线方程为x=-,‎ ‎∴不妨设A,D.‎ ‎∵点A,D在圆x2+y2=r2上,‎ ‎∴∴+8=+5,∴p=4(负值舍去).‎ ‎∴C的焦点到准线的距离为4.]‎ ‎[规律方法] 1.求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可.‎ (2)抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.‎ ‎2.研究抛物线的焦点坐标或准线方程,必须把抛物线化成标准方程,正确的求出p.‎ ‎[跟踪训练] (1)(2017·河南中原名校联考)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4,则抛物线的方程为 (  )‎ A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2= ‎(2)若抛物线y2=2x上一点M到它的焦点F的距离为,O为坐标原点,则△MFO的面积为(  )‎ A. B. C. D. ‎(1)B (2)B [(1)设M(x,y),因为|OF|=,|MF|=4|OF|,‎ 所以|MF|=2p,‎ 由抛物线定义知x+=2p,‎ 所以x=p,所以y=±p.‎ 又△MFO的面积为4,‎ 所以××p=4,解得p=4(p=-4舍去).‎ 所以抛物线的方程为y2=8x.‎ ‎(2)由题意知,‎ 抛物线准线方程为x=-.‎ 设M(a,b),由抛物线的定义可知,‎ 点M到准线的距离为,‎ 所以a=1,‎ 代入抛物线方程y2=2x,‎ 解得b=±,‎ 所以S△MFO=××=.]‎ 直线与抛物线的位置关系 ‎◎角度1 直线与抛物线的交点问题 ‎ (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.‎ ‎[解] (1)如图,由已知得M(0,t),P.‎ 又N为M关于点P的对称点,‎ 故N,‎ 故直线ON的方程为y=x,‎ 将其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0, ‎ 解得x1=0,x2=.因此H.‎ 所以N为OH的中点,即=2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:‎ 直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).‎ 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,‎ 即直线MH与C只有一个公共点,‎ 所以除H以外,直线MH与C没有其他公共点.‎ ‎◎角度2 与抛物线弦长或中点有关的问题 ‎ (2017·北京高考)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;‎ ‎(2)求证:A为线段BM的中点.‎ ‎[解] (1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.‎ 所以抛物线C的方程为y2=x.‎ 抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.‎ ‎(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 由得4k2x2+(4k-4)x+1=0,‎ 则x1+x2=,x1x2=.‎ 因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).‎ 直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.‎ 因为y1+-2x1= ‎= ‎= ‎==0,‎ 所以y1+=2x1,‎ 故A为线段BM的中点.‎ ‎[规律方法] 解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.‎ (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用弦长公式.‎ (3)涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时,一般采用“设而不求,整体代入”的解法.‎ 提醒:涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.‎ ‎[跟踪训练] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积. ‎ ‎【导学号:79140290】‎ ‎[解] (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,-8),‎ ‎∴(-8)2=2p×8,∴2p=8,∴抛物线方程为y2=8x.‎ ‎(2)直线l2与l1垂直,故可设直线l2:x=y+m,A(x1,y1),B(x2,y2),且直线l2与x轴的交点为M.‎ 由得y2-8y-8m=0,‎ Δ=64+32m>0,∴m>-2.‎ y1+y2=8,y1y2=-8m,‎ ‎∴x1x2==m2.‎ 由题意可知OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0,‎ ‎∴m=8或m=0(舍),‎ ‎∴直线l2:x=y+8,M(8,0).‎ 故S△FAB=S△FMB+S△FMA=·|FM|·|y1-y2|‎ ‎=3=24.‎
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