高考数学理科试题分类汇编圆锥曲线

高考数学理科试题分类汇编圆锥曲线

‎2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题：‎ ‎1.（福建卷11)又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B. C.(3,+) D.‎ ‎2.（海南卷11）已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ A ）‎ A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2）‎ ‎3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：‎ ‎①; ②; ③; ④＜.‎ 其中正确式子的序号是B A. ①③　　　　　　　B. ②③　　　 　C. ①④　　 　 　D. ②④‎ ‎4.（湖南卷8）若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )‎ A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) ‎ ‎5.（江西卷7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A． B． C． D．‎ ‎6.（辽宁卷10）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.（全国二9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.（山东卷(10)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为A ‎（A） (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎9.（陕西卷8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.（四川卷12）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( B )‎ ‎（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）‎ ‎11.（天津卷（7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为B ‎（A） （B）　 （C） （D）‎ ‎12.（浙江卷7）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D ‎ （A）3 （B）5 （C） （D）‎ ‎13.（浙江卷10）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是B ‎（A）圆 （B）椭圆 ‎ ‎（C）一条直线 （D）两条平行直线 ‎14.（重庆卷(8)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=‎ ‎,则双曲线方程为C ‎（A）－=1 (B)‎ ‎ (C) (D)‎ 一． 填空题：‎ ‎1.（海南卷14）过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______‎ ‎2.（湖南卷12）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于 . ‎ ‎3.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ．‎ ‎4.（江西卷15）过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则 ．‎ ‎5.（全国一14）已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．2[来源:学科网ZXXK]‎ ‎6.（全国一15）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．‎ ‎7.（全国二15）已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于 ．‎ ‎8.（浙江卷12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。8‎ 二． 解答题：‎ ‎1.（安徽卷22）．（本小题满分13分）‎ 设椭圆过点，且着焦点为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上 解 (1)由题意：‎ ‎ ，解得，所求椭圆方程为 ‎ ‎(2)方法一 ‎ 设点Q、A、B的坐标分别为。‎ 由题设知均不为零，记,则且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ‎ ‎ ， ‎ 从而 ‎ ‎ ，（1） ，（2）‎ 又点A、B在椭圆C上，即 ‎ ‎ ‎ （1）+（2）×2并结合（3），（4）得 即点总在定直线上 方法二 设点，由题设，均不为零。‎ 且 ‎ 又 四点共线，可设,于是 ‎ （1）‎ ‎ （2）‎ 由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程 整理得 ‎ （3）‎ ‎ (4)‎ ‎(4)－(3) 　　　得 ‎ 即点总在定直线上 ‎2.（北京卷19）．（本小题共14分）‎ 已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．‎ ‎（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．‎ 解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．‎ 因为四边形为菱形，所以．‎ 于是可设直线的方程为．‎ 由得．‎ 因为在椭圆上，‎ 所以，解得．‎ 设两点坐标分别为，‎ 则，，，．‎ 所以．‎ 所以的中点坐标为．‎ 由四边形为菱形可知，点在直线上， ‎ 所以，解得．‎ 所以直线的方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，‎ 所以．‎ 所以菱形的面积．‎ 由（Ⅰ）可得，‎ 所以．‎ 所以当时，菱形的面积取得最大值．‎ ‎3.（福建卷21）（本小题满分12分）‎ ‎　　　如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；‎ ‎　　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.‎ 本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.‎ ‎ 解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，‎ 因为△MNF为正三角形，‎ ‎ 所以,‎ ‎ 即1＝‎ ‎ 因此，椭圆方程为 ‎ (Ⅱ)设 ‎ (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，‎ ‎ (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，‎ ‎ 设直线AB的方程为：‎ ‎ 整理得 ‎ 所以 ‎ 因为恒有，所以AOB恒为钝角.‎ ‎ 即恒成立.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立，‎ 即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立.‎ 当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0. ‎ a20,b>0,所以a0,‎ 解得a>或a<(舍去)，即a>,‎ 综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一，‎ ‎（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，‎ x=1代入=1.‎ 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即>1,‎ 解得a>或a<(舍去)，即a>.‎ ‎（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.‎ 设直线AB的方程为y=k(x-1)代入 得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,‎ 故x1+x2=‎ 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,‎ 所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,‎ 得x1x2+ y1y2<0恒成立.‎ x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2‎ ‎=(1+k2).‎ 由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0对kR恒成立.‎ ‎①当a2- a2 b2+b2>0时，不合题意；‎ ‎②当a2- a2 b2+b2=0时，a=;‎ ‎③当a2- a2 b2+b2<0时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,‎ 解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.‎ 综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.‎ ‎4.（广东卷18）．（本小题满分14分）‎ 设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．‎ ‎（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；‎ ‎（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．‎ A y x O B G F F1‎ 图4‎ ‎【解析】（1）由得，‎ 当得，G点的坐标为，，，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，‎ 即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；‎ ‎（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，‎ 同理 以为直角的只有一个。‎ 若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， ‎ ‎。‎ 关于的二次方程有一大于零的解，有两解，‎ 即以为直角的有两个，‎ 因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。‎ ‎5.(湖北卷19).（本小题满分13分）‎ 如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.‎ ‎（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.‎ 若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.‎ 本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得 ‎｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.‎ ‎∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.‎ 设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，‎ 则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.‎ ‎∴曲线C的方程为.‎ 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜‎ ‎｜AB｜＝4.‎ ‎∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.‎ 设双曲线的方程为＞0，b＞0）.‎ 则由　 解得a2=b2=2,‎ ‎∴曲线C的方程为 ‎(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.‎ ‎∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，‎ ‎∴ 　　‎ ‎∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.‎ 设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,于是 ‎｜EF｜＝‎ ‎＝‎ 而原点O到直线l的距离d＝，‎ ‎∴S△DEF=‎ 若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有 ‎ ③‎ 综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪(1-,1) ∪(1, ).‎ 解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，[来源:学科网]‎ 得（1-k2）x2-4kx-6=0.‎ ‎∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，‎ ‎∴ 　　‎ ‎.∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.‎ 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 ‎｜x1-x2｜= ③‎ 当E、F在同一去上时（如图1所示），‎ S△OEF＝‎ 当E、F在不同支上时（如图2所示）.‎ S△ODE=‎ 综上得S△OEF＝于是 由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=‎ 若△OEF面积不小于2‎ ‎ 　④‎ 综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）.‎ ‎6.（湖南卷20）.（本小题满分13分）‎ 若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与 x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）‎ 存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.‎ ‎（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；‎ ‎(II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？‎ 若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.‎ 解: （I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是 ‎（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1, y22=4x2,‎ 两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.‎ 设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则 k=.从而AB的垂直平分线l的方程为 ‎ 又点P（x0,0）在直线上，所以 ‎ 而于是故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，‎ 整理得 （·）‎ 则是方程（·）的两个实根，且 设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则 ‎ ‎ 因为0<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设t=,则t(0,4x0-8).‎ 记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.‎ 若x0>3,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,‎ l有最大值2(x0-1).‎ 若23时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值 为2（x0-1）；当2< x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.‎ ‎7.（江西卷21）．（本小题满分12分）‎ 设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点.‎ ‎（1）求证：三点共线。‎ ‎（2）过点作直线的垂线，垂足为，试求的重心所在曲线方程.‎ 证明：（1）设，由已知得到，且，，‎ 设切线的方程为：由得 从而,解得 因此的方程为：‎ 同理的方程为：‎ 又在上，所以，‎ 即点都在直线上 又也在直线上,所以三点共线 ‎（2）垂线的方程为：，‎ 由得垂足，‎ 设重心 所以 解得 由 可得即为重心所在曲线方程 ‎8.（辽宁卷20）．（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）写出C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求k的值；‎ ‎（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有||>||．‎ ‎20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，‎ 故曲线C的方程为． 3分 ‎（Ⅱ）设，其坐标满足 消去y并整理得，‎ 故． 5分 若，即．[来源:Z+xx+k.Com]‎ 而，‎ 于是，‎ 化简得，所以． 8分 ‎（Ⅲ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ 因为A在第一象限，故．由知，从而．又，‎ 故，‎ 即在题设条件下，恒有． 12分 ‎9.（全国一21）．（本小题满分12分）‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．‎ 解：（Ⅰ）设，，‎ 由勾股定理可得：‎ 得：，，‎ 由倍角公式，解得,则离心率．‎ ‎（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立 将，代入，化简有 将数值代入，有,解得 故所求的双曲线方程为。‎ ‎10.（全国二21）．（本小题满分12分）‎ 设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求四边形面积的最大值．‎ ‎（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，‎ 直线的方程分别为，． 2分 如图，设，其中，‎ D F B y x A O E 且满足方程，‎ 故．①‎ 由知，得；‎ 由在上知，得．‎ 所以，‎ 化简得，‎ 解得或． 6分 ‎（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，‎ ‎． 9分 又，所以四边形的面积为 ‎，‎ 当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 解法二：由题设，，．‎ 设，，由①得，，‎ 故四边形的面积为 ‎ 9分 ‎，‎ 当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 ‎11.（山东卷22) (本小题满分14分)‎ 如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.‎ ‎（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；‎ ‎（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎（Ⅰ）证明：由题意设 ‎ 由得，则 ‎ 所以 ‎ 因此直线MA的方程为 ‎　　　　　　　　直线MB的方程为 ‎ 所以 ①‎ ‎ ②[来源:学科网]‎ 由①、②得　　‎ 因此　，即 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，‎ ‎ 将其代入①、②并整理得：‎ ‎ 　‎ ‎ 　‎ ‎　　　　　所以　x1、x2是方程的两根，‎ ‎ 因此 ‎ 又 ‎ 所以 ‎ 由弦长公式得 ‎ ‎ ‎　　　　又，‎ ‎ 所以p=1或p=2，‎ ‎ 因此所求抛物线方程为或 ‎（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),‎ ‎ 则CD的中点坐标为 ‎ 　设直线AB的方程为 ‎ 　由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，‎ ‎ 　代入得 ‎ 　若D（x3,y3）在抛物线上，则 ‎ 　因此　x3=0或x3=2x0.‎ ‎ 即D(0，0)或 ‎ （1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.‎ ‎ （2）当，对于D(0，0)，此时 ‎ 　　又AB⊥CD，‎ 所以 即矛盾.‎ 对于因为此时直线CD平行于y轴，‎ 又 所以　　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，‎ 所以时，不存在符合题意的M点.‎ 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.‎ ‎12.（陕西卷20）．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．‎ ‎（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ x A y ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ M N B O ‎20．解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，‎ 由韦达定理得，，‎ ‎，点的坐标为．‎ 设抛物线在点处的切线的方程为，‎ 将代入上式得，‎ 直线与抛物线相切，‎ ‎，．‎ 即．‎ ‎（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，‎ ‎．‎ 由（Ⅰ）知 ‎．‎ 轴，．‎ 又[来源:学科网]‎ ‎ ．‎ ‎，解得．‎ 即存在，使．‎ 解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得 ‎．由韦达定理得．‎ ‎，点的坐标为．，，‎ 抛物线在点处的切线的斜率为，．‎ ‎（Ⅱ）假设存在实数，使．‎ 由（Ⅰ）知，则 ‎，‎ ‎，，解得．‎ 即存在，使．‎ ‎13.（四川卷21）．（本小题满分12分）‎ 设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线。‎ ‎【解】：由与，得 ‎ ，的方程为 设 则 由得 ‎ ①‎ ‎（Ⅰ）由，得 ‎ ②‎ ‎ ③‎ 由①、②、③三式，消去，并求得 故 ‎（Ⅱ）‎ 当且仅当或时，取最小值 此时，‎ 故与共线。‎ ‎【点评】：此题重点考察椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量的综合应用；‎ ‎【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。‎ ‎14.（天津卷22）（本小题满分14分）‎ 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．‎ ‎（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得 ‎，解得，所以双曲线方程为．‎ ‎（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，整理得．‎ 此方程有两个一等实根，于是，且．整理得．　③‎ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 ‎，．‎ 从而线段的垂直平分线方程为．‎ 此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．‎ 将上式代入③式得，整理得，．‎ 解得或．‎ 所以的取值范围是．‎ ‎15.（浙江卷20）（本题15分）已知曲线C是到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹。是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，轴（如图）。‎ ‎ （Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎ （Ⅱ）求出直线的方程，使得为常数。‎ 本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．‎ ‎（Ⅰ）解：设为上的点，则 ‎，‎ 到直线的距离为．‎ 由题设得．‎ 化简，得曲线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）解法一：‎ A B O Q y x l M 设，直线，则 ‎，从而．‎ 在中，因为 ‎，‎ ‎．‎ 所以 .‎ ‎，‎ ‎．‎ 当时，，‎ 从而所求直线方程为．‎ 解法二：设，直线，则，从而 ‎．‎ 过垂直于的直线．‎ A B O Q y x l M H l1‎ 因为，所以，‎ ‎．‎ 当时，，‎ 从而所求直线方程为．‎ ‎16.（重庆卷21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）‎ ‎　　　如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若,求点P的坐标.‎ 解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.‎ ‎ 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴 b=，‎ ‎ 所以椭圆的方程为 ‎ (Ⅱ)由得 ‎ ①‎ ‎ 因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，‎ ‎ ②‎ ‎ 将①代入②，得 ‎ ‎ ‎ 故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.‎ ‎ 由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以 ‎ 由方程组 解得 ‎ 即P点坐标为