高三数学二轮复习解答题压轴题突破练理新人教版
解答题压轴题突破练
(建议用时:30 分钟)
1.已知椭圆 E: + =1(a>b>0),A 为椭圆 E 的右顶点,B,C 分别为椭圆 E 的上、下顶点.
(1)若 N 为 AC 的中点,△BAN 的面积为 ,椭圆的离心率为 ,求椭圆 E 的方程.
(2)F 为椭圆 E 的右焦点,线段 CF 的延长线与线段 AB 交于点 M,与椭圆 E 交于点 P,求 的
最小值.
【解析】(1)因为 S△BAN= S△BAC= × ×2b×a= ,
所以 ab=2 ,又 = ,a2-b2=c2,所以可解得 a=2,c=b= ,
所以椭圆 E 的方程为 + =1.
(2)直线 AB:y=b- x,直线 CF:y=-b+ x,联立方程解得 M .
设 =λ (λ>0),P(x,y),则 =λ(x,y+b),
所以 x= ,y= .
把上式代入椭圆方程得 + =1,
即 4c2+[2a-λ(a+c)]2=λ2(a+c)2.
所以λ= = =(e+1)+ -2.
因为 0
b>0),焦距为 2c,
由已知得 = ,所以 c= a,b2=a2-c2= .
因为以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 ,
所以 4 =2 a=4 ,所以 a=2,b=1.
所以椭圆 E 的方程为 x2+ =1.
(2)根据已知得 P(0,m),设 A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),
由 得,(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0.
由已知得Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0,
即 k2-m2+4>0,
且 x1+x2= ,x1x2= .
由 =3 得 x1=-3x2.
所以 3(x1+x2)2+4x1x2=12 -12 =0.
所以 + =0,即 m2k2+m2-k2-4=0.
当 m2=1 时,m2k2+m2-k2-4=0 不成立,所以 k2= .
因为 k2-m2+4>0,
所以 -m2+4>0,即 >0.
所以 1b>0),
由题可知 c=1,
因为|BD|=3,所以 =3,
又 a2-b2=1,所以 a=2,b= ,
所以椭圆 C 的方程为 + =1.
(2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为 y=k(x-2)+1.
由 得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0.
因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 M,N,
设 M(x1,y1),N(x2,y2),
所以Δ=[-8k(2k-1)]2-4(3+4k2)(16k2-16k-8)>0,
所以 k>- ,
x1+x2= ,x1x2= ,
因为 · =(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= ,
所以(x1-2)(x2-2)(1+k2)= ,
即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2)= ,
所以 (1+k2)= = ,
解得 k=± .因为 k>- ,所以 k= ,
故存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x.
4.已知函数 f(x)=a - (x>0),其中 e 为自然对数的底数.
(1)当 a=0 时,判断函数 y=f(x)极值点的个数.
(2)若函数有两个零点 x1,x2(x10),
f′(x)= = ,
令 f′(x)=0,则 x=2,
当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,y=f(x)单调递减,
当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,y=f(x)单调递增,
所以 x=2 是函数的一个极小值点,无极大值点,
即函数 y=f(x)有一个极值点.
(2)令 f(x)=a - =0,则 =aex,
因为函数有两个零点 x1,x2(x11,且 解得 x1= ,x2= .
所以 x1+x2= .①
令 h(x)= ,x∈(1,+∞),
则 h′(x)= .
令 u(x)=-2lnx+x- ,得 u′(x)= .
当 x∈(1,+∞)时,u′(x)>0.因此,u(x)在(1,+∞)上单调递增,
故对于任意的 x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,
由此可得 h′(x)>0,故 h(x)在(1,+∞)上单调递增.
因此,由①可得 x1+x2 随着 t 的增大而增大.
5.已知定义在(0，e)上的函数 f(x)=lnx- .
(1)求此函数的单调区间.
(2)若过点 A(1，-1)有且仅有一条直线与函数 y=f(x)的图象相切，求 a 的取值范围.
【解析】(1)由题意 f′(x)= .
当 a≥e 时，函数 f(x)在(0，e)上是减函数；
当 02a>1 时，g(x)极小值=g(2a)=ln2a+ - -1
=ln2a+ >0，
而 g =ln +8a+4-16a-1=ln -8a+3<0，
由零点存在性原理，此时 g(x)在(0，2a)上有且只有一个零点，在[2a，e)上没有零点，符
合条件；
同理，当 2a≥e 时，符合条件；
②当 2a=1 时，g′(x)= ≥0，g(x)在(0，e)上为增函数，
g(1)=a= >0，
而 g =ln +8a+4-16a-1=ln -8a+3<0，
此时 g(x)在(0，e)上有且只有一个零点，符合条件；
③当 0<2a<1 时，g(x)极小值=g(1)=a>0，
而 g =ln +4+ - -1=ln - +3<0，
此时 g(x)在(0，1)上有且只有一个零点，在[1，e)上没有零点，符合条件；
④当 a=0 时，g(x)=lnx+ -1，令 g′(x)= =0，
g(x)极小值=g(1)=0，g(x)在(0，e)上有且只有一个零点 1，符合条件；
⑤当 a<0 时，g(x)极小值=g(1)=a<0，g =ln -8a+3>0，
g(x)在(0，1)上有且只有一个零点，
而当 g(e)=lne+ - -1= ≤0，
即 a≤- 时，
g(x)在(1，e)上没有零点；此时 g(x)在(0，e)上有且只有一个零点，符合条件；
当 g(e)= >0，即-
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