【数学】2020届一轮复习人教B版数列求和课时作业

【数学】2020届一轮复习人教B版数列求和课时作业

‎1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3，则其前20项和为(　　)‎ A．380－ B．400－ C．420－ D．440－ 解析：选C.令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3＝2×－3×＝420－.‎ ‎2．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为(　　)‎ A．120 B．99‎ C．11 D．121‎ 解析：选A.an＝＝＝－，所以a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10.即＝11，所以n＋1＝121，n＝120.‎ ‎3．(2019·江西师大附中调研)定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋＋…＋＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.由定义可知a1＋a2＋…＋an＝5n2，a1＋a2＋…＋an＋an＋1＝5(n＋1)2，可求得an＋1＝10n＋5，所以an＝10n－5，则bn＝2n－1.又＝，所以＋＋…＋＝(－＋－…－＋－)＝＝.‎ ‎4．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝(　　)‎ A．－30 B．－60‎ C．90 D．120‎ 解析：选D.由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.所以a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，所以S60＝8×15＝120.‎ ‎5．(2019·湖南湘潭模拟)已知Tn为数列的前n项和，若m>T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为(　　)‎ A．1 026 B．1 025‎ C．1 024 D．1 023‎ 解析：选C.因为＝1＋，‎ 所以Tn＝n＋1－，‎ 所以T10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－，‎ 又m>T10＋1 013，‎ 所以整数m的最小值为1 024.故选C.‎ ‎6．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________．‎ 解析：由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，‎ 所以T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18‎ ‎＝S10－(S18－S10)＝60.‎ 答案：60‎ ‎7．设函数f(x)＝＋log2，定义Sn＝f＋f＋…＋f，其中n∈N*，且n≥2，则Sn＝________．‎ 解析：因为f(x)＋f(1－x)‎ ‎＝＋log2＋＋log2 ‎＝1＋log21＝1，‎ 所以2Sn＝＋‎ ＋…＋ ‎＝n－1.‎ 所以Sn＝.‎ 答案： ‎8．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%，则第n年初M的价值an＝________．‎ 解析：当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，所以an＝120－10(n－1)‎ ‎＝130－10n(n≤6且n∈N*)；‎ 当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，为公比的等比数列，‎ 又因为a6＝70，所以an＝70×(n≥7且n∈N*)．‎ 答案： ‎9．(2018·高考天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.‎ ‎(1)求Sn和Tn；‎ ‎(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．‎ 解：(1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.‎ 因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.‎ 所以，Tn＝＝2n－1.‎ 设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.‎ 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n.所以，Sn＝.‎ ‎(2)由(1)，有 T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.‎ 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得 ＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，‎ 整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)，或n＝4.‎ 所以，n的值为4.‎ ‎10．(2019·长沙市统一模拟考试)已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝，设{bn}的前n项和为Sn.求最小的正整数n，使得Sn>.‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 依题意有，‎ 解得a1＝1，d＝2，‎ 从而{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*.‎ ‎(2)因为bn＝＝－，‎ 所以Sn＝＋＋…＋＝1－，‎ 令1－>，‎ 解得n>1 008，故取n＝1 009.‎ ‎1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝28，S10＝310.记函数f(n)＝Sn(n∈N*)，A(n，f(n))，B(n＋1，f(n＋1))，C(n＋2，f(n＋2))是函数f(n)上的三点，则△ABC的面积为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C.因为a5＝28，S10＝310.‎ 所以解得a1＝4，d＝6.‎ 所以an＝4＋(n－1)×6＝6n－2.‎ 所以Sn＝4n＋×6＝3n2＋n.‎ 所以A，B，C的坐标分别为(n，3n2＋n)，(n＋1，3(n＋1)2＋(n＋1))，(n＋2，3(n＋2)2＋(n＋2))．‎ 所以△ABC的面积S＝[(3n2＋n)＋3(n＋2)2＋(n＋2)]×2－[(3n2＋n)＋3(n＋1)2＋(n＋1)]×1－[3(n＋1)2＋(n＋1)＋3(n＋2)2＋(n＋2)]×1‎ ‎＝(6n2＋14n＋14)－(3n2＋4n＋2)－(3n2＋10n＋9)‎ ‎＝3，即△ABC的面积为3.‎ ‎2．(2017·高考全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　)‎ A．440 B．330‎ C．220 D．110‎ 解析：选A.设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意可知，N>100，令>100，所以n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．易得第n组的所有项的和为＝2n－1，前n组的所有项的和为－n＝2n＋1－n－2.设满足条件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N*)个数，第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，即2t－1＝k＋2，所以2t＝k＋3，所以t＝log2(k＋3)，所以当t＝4，k＝13时，N＝ ‎＋4＝95<100，不满足题意，当t＝5，k＝29时，N＝＋5＝440，当t>5时，N>440，故选A.‎ ‎3．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2 018项的和等于________．‎ 解析：因为a1＝，又an＋1＝＋，‎ 所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，‎ 即得an＝ 故数列的前2 018项的和S2 018＝1 009×＝.‎ 答案： ‎4．某人打算制定一个长期储蓄计划，每年年初存款2万元，连续储蓄12年．由于资金原因，从第7年年初开始，变更为每年年初存款1万元．若存款利率为每年2%，且上一年年末的本息和共同作为下一年年初的本金，则第13年年初时的本息和约为________万元(结果精确到0.1)．(参考数据：1.026≈1.13，1.0212≈1.27)‎ 解析：由题意可知，第1年年初存入的2万元，到第13年年初时本息和为2×1.0212，第2年年初存入的2万元，到第13年年初时本息和为2×1.0211，…，第6年年初存入的2万元，到第13年年初时本息和为2×1.027，第7年年初存入的1万元，到第13年年初时本息和为1×1.026，…，第12年年初存入的1万元，到第13年年初时本息和为1×1.02，第13年年初时的本息和为 ‎2×1.0212＋2×1.0211＋…＋2×1.027＋1.026＋1.025＋…＋1.02‎ ‎＝2×＋ ‎＝2×＋51×(1.026－1)‎ ‎≈51×(0.28＋0.13)＝20.91≈20.9.‎ 答案：20.9‎ ‎5．等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)令cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.‎ 解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，‎ 由得解得 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.‎ ‎(2)由a1＝3，an＝2n＋1，得Sn＝＝n(n＋2)，‎ 则cn＝ 即cn＝ 所以T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)‎ ‎＝＋(2＋23＋…＋22n－1)‎ ‎＝1－＋＝＋(4n－1)．‎ ‎6．(2019·张掖市第一次诊断考试)已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝‎ ‎－log2an＋1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式与数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)令cn＝＋，其中n∈N*，若数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.‎ 解：(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1，‎ 由an＝－3Sn＋4，‎ 知an＋1＝－3Sn＋1＋4，‎ 两式相减并化简得an＋1＝an，‎ 所以an＝.‎ bn＝－log2an＋1＝－log2＝2n.‎ ‎(2)由题意知，cn＝＋.‎ 令Hn＝＋＋＋…＋，①‎ 则Hn＝＋＋…＋＋，②‎ ‎①－②得，Hn＝＋＋＋…＋－＝1－.‎ 所以Hn＝2－.‎ 又Mn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，‎ 所以Tn＝Hn＋Mn＝2－＋.‎